A moins que ton échappement soit bouché ou destiné à une autre auto, et donc non installable, non je ne vois pas pour l'échappement, par contre effectivement si tu sais que les anciens proprios ont tapé dans le bloc plus que de raison et qu'en plus apparemment tu t'étais bien fait plaisir avant depuis le changement de pot, t'as déjà un bon début de piste, maintenant il y a plusieurs raisons possibles aux avaries, et effectivement, c'est difficile de dire un avis à distance, à fortiori pour les mecs comme moi qui ont de graves lacunes en mécanique...
Le démarrage à chaud très difficile qui me demandait de camper trente minutes à la station service après avoir remis de l'essence, je l'avais aussi (et c'est super chouette en banlieue parigotte à 3h du matin dans une station uniquement CB, on peut se faire plein d'amis), mais c'était pas l'état du moteur à priori qui en était la cause.
Après, je rajouterai un autre problème, voir un pro, ok... Mais quel pro ? Rotary-r taf plus en ce moment, monstand c'est en bas de la france, et les quelques concessions mazda encore présentes en france qui ne soient pas des points de vente multi-marques, ils feront ce qu'ils peuvent et veulent, c'est à dire bilan des compressions et bonjour le chèque de 8000 euros, "signez là svp".
Ils n'iront pas chercher loin, la mécanique en rotatif en france, c'est "si les compressions sont basses, on change tout'. Et sans compter les mecs qui ouvrent le bloc et pètent tout au passage en te disant "ha ben voilà c'était tout cassé dedans cherchez pas" 
Enfin bon, c'est toujours le même couplet dans ce pays, bien sur qu'il doit aller voir un pro, mais... 
Sans même réfléchir je peux citer 2 autres causes d'un démarrage à chaud difficile : capteur température d'eau, vapour-lock.